Mínimo Común Múltiplo (MCM) - FreeCodeCamp Daily Challenge

2025-11-22 2 min

Índice

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

En este artículo resolvemos el problema “Least Common Multiple (LCM)” aplicando la relación matemática entre el MCD (Máximo Común Divisor) y el MCM. Exploraremos la idea matemática, implementaremos una solución en JavaScript, analizaremos su complejidad y discutiremos casos especiales.

📝 Enunciado del Problema

Dado dos enteros positivos (a) y (b), devuelve su mínimo común múltiplo (MCM), denotado como (\operatorname{mcm}(a, b)). El MCM de dos enteros es el número entero positivo más pequeño que es múltiplo de ambos números.

Ejemplo

(a = 4, b = 6 \rightarrow \operatorname{mcm}(4, 6) = 12)
(a = 7, b = 5 \rightarrow \operatorname{mcm}(7, 5) = 35)

💡 Idea Matemática

La forma más eficiente de calcular el MCM es utilizando la relación entre el MCD y el MCM:

\operatorname{mcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\operatorname{mcd}(a, b)}

Donde (\operatorname{mcd}(a, b)) se calcula usando el Algoritmo de Euclides. Si no estás familiarizado con este algoritmo, consulta nuestro artículo sobre el Máximo Común Divisor (MCD).

🛠️ Implementación en JavaScript

A continuación, presentamos una implementación eficiente del cálculo del MCM en JavaScript:

function lcm(a, b) {
  // Función auxiliar para calcular el Máximo Común Divisor (MCD)
  function gcd(x, y) {
    while (y !== 0) {
      [x, y] = [y, x % y]
    }
    return Math.abs(x)
  }

  if (a === 0 || b === 0) {
    throw new Error('El MCM no está definido para 0')
  }

  return Math.abs(a * b) / gcd(a, b)
}

Explicación del Código

Cálculo del MCD: Utilizamos el Algoritmo de Euclides para calcular el MCD de (a) y (b).
Validación de Entrada: Si alguno de los números es 0, lanzamos un error, ya que el MCM no está definido en este caso.
Cálculo del MCM: Aplicamos la fórmula (\operatorname{mcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\operatorname{mcd}(a, b)}).

📊 Análisis de Complejidad

Complejidad Temporal

El cálculo del MCD usando el Algoritmo de Euclides tiene una complejidad temporal de:

O(\log(\min(a, b)))

Por lo tanto, la complejidad total para calcular el MCM también es:

O(\log(\min(a, b)))

ya que el cálculo del producto y la división son operaciones constantes.

Complejidad Espacial

La complejidad espacial es:

O(1)

ya que solo utilizamos unas pocas variables auxiliares para el cálculo, independientemente del tamaño de los números de entrada.

⚠️ Casos Edge y Consideraciones

Entrada con ceros: Si (a = 0) o (b = 0), el MCM no está definido. En la implementación, esto se maneja lanzando una excepción.
Números negativos: Si los números son negativos, el MCM se calcula utilizando sus valores absolutos.
Uno de los números es 1: Si (a = 1) o (b = 1), el MCM es simplemente el otro número.
Ambos números son iguales: Si (a = b), el MCM es ese mismo número.

Reflexiones y Aprendizajes

Relación entre MCD y MCM: La fórmula:

\operatorname{mcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\operatorname{mcd}(a, b)}

es una herramienta poderosa para resolver problemas de múltiplos y divisores.

Eficiencia del Algoritmo de Euclides: Este algoritmo es extremadamente eficiente para calcular el MCD, lo que lo convierte en la base ideal para calcular el MCM.
Validación de Entrada: Es importante manejar casos especiales como ceros o números negativos para evitar errores en el cálculo.

Recursos y Referencias

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